2019年天津卷（文數）高考真題試題 Word版（含答案）
2020-04-01 06:20:17
絕密★啟用前
2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數 學（文史類）
本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。
答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。
祝各位考生考試順利
第Ⅰ卷
注意事項：
1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。
2.本卷共8小題，每小題5分共40分。
參考公式：
·如果事件A，B互斥，那么.
·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高
·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）設集合， ， ，則
（A）{2} （B）{2，3} （C）{-1，2，3} （D）{1，2，3，4}
（2）設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為
（A）2 （B）3 （C）5 （D）6
（3）設，則""是""的
（A）充分而不必要條件
（B）必要而不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件
（4）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出的值為
（A）5 （B）8 （C）24 （D）29
（5）已知，，，則的大小關系為
（A） （B）
（c） （D）
（6）已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為
（A） （B） （C）2 （D）
（7）已知函數是奇函數，且的最小正周期為，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數為.若，則
（A）-2 （B） （C） （D）2
（8）已知函數若關于的方程恰有兩個互異的實數解，則的取值范圍為
（A） （B） （C） （D）
絕密★啟用前
2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數 學（文史類）
第Ⅱ卷
注意事項：
1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。
2.本卷共12小題，共110分。
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）是虛數單位，則的值的值為__________.
（10）設，使不等式成立的的取值范圍為__________.
（11）曲線在點處的切線方程為__________.
（12）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.
（13）設，，，則的最小值為__________.
（14）在四邊形中，， ， ， ，點在線段的延長線上，且，則__________.
三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）（本小題滿分13分）
2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調查專項附加扣除的享受情況.
（Ⅰ）應從老、中、青員工中分別抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中""表示享受，"×"表示不享受.現從這6人中隨機抽取2人接受采訪.
員工
項目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 繼續教育 × × ○ × ○ ○ 大病醫療 × × × ○ × × 住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 贍養老人 ○ ○ × × × ○ （i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
（ii）設為事件"抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同"，求事件發生的概率.
（16）（本小題滿分13分）
在中，內角所對的邊分別為.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
（17）（本小題滿分13分）
如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
（18）（本小題滿分13分）
設是等差數列，是等比數列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足求.
（19）（本小題滿分14分）
設橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.
（20）（本小題滿分14分
設函數，其中.
（Ⅰ）若，討論的單調性；
（Ⅱ）若，
（i）證明恰有兩個零點
（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.
絕密★啟用前
2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數 學（文史類）參考解答
一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分
（1）D （2）C （3）B （4）B
（5）A （6）D （7）C （8）D
二.填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分
（9） （10） （11）
（12） （13） （14）
三.解答題
（15）本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，滿分13分.
解：（1）由已知，老、中、青員工人數之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為
，共15種.
（ii）由表格知，符合題意的所有可能結果為
，共11種.
所以，事件發生的概率
（16）本小題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力.滿分13分.
（1）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得
.
（Ⅱ）解：由（1）可得
，從而，，故.
（17）本小題主要考查直線與平面平行直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識.考查空間想象能力和推理論證能力滿分13分.
（Ⅰ）證明：連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）證明：取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，交平面，故.又已知，，所以平面.
（Ⅲ）解：連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，
因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，
在中，.
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
（18）本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及其前項和公式等基礎知識，考查數列求和的基本方法和運算求解能力.滿分13分.
（Ⅰ）解：設等差數列的公差為，等比數列的公比為依題意，得，解得，故，.
所以，的通項公式為，的通項公式 為.
（Ⅱ）解：
. ①
， ②
②-①得，.
所以，
.
（19）本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、圓等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力，以及用方程思想、數形結合思想解決問題的能力，滿分14分.
（Ⅰ）解：設橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得.
所以，橢圓的離心率為.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， ，故橢圓方程為.由題意，，則直線的方程為.點P的坐標滿足，消去并化簡，得到，解得，，代入到的方程，解得，.因為點在軸上方，所以.由圓心在直線上，可設.因為，且由（Ⅰ）知，故，解得.因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，可得.
所以，橢圓的方程為.
（20）本小題主要考查導數的運算、不等式證明、運用導數研究函數的性質等基礎知識和方法，考查函數思想、化歸與轉化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
（Ⅰ）解：由已知，的定義域為，且
因此當時， ，從而，所以在內單調遞增.
（Ⅱ）證明：（i）由（Ⅰ）知.令，由，
可知在內單調遞減，又，且
.
故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則.當時，，所以在內單調遞增；當時，，所以在內單調遞減，因此是的唯一極值點.
令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時， ，所以.從而
，
又因為，所以在內有唯零點.又在內有唯一零點1，從而，）在內恰有兩個零點.
（ii）由題意，即，從而，即.因為當時， ，又，故，兩邊取對數，得，于是
，
整理得.
2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數 學（文史類）
本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。
答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。
祝各位考生考試順利
第Ⅰ卷
注意事項：
1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。
2.本卷共8小題，每小題5分共40分。
參考公式：
·如果事件A，B互斥，那么.
·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高
·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）設集合， ， ，則
（A）{2} （B）{2，3} （C）{-1，2，3} （D）{1，2，3，4}
（2）設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為
（A）2 （B）3 （C）5 （D）6
（3）設，則""是""的
（A）充分而不必要條件
（B）必要而不充分條件
（C）充要條件
（D）既不充分也不必要條件
（4）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出的值為
（A）5 （B）8 （C）24 （D）29
（5）已知，，，則的大小關系為
（A） （B）
（c） （D）
（6）已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為
（A） （B） （C）2 （D）
（7）已知函數是奇函數，且的最小正周期為，將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數為.若，則
（A）-2 （B） （C） （D）2
（8）已知函數若關于的方程恰有兩個互異的實數解，則的取值范圍為
（A） （B） （C） （D）
絕密★啟用前
2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數 學（文史類）
第Ⅱ卷
注意事項：
1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。
2.本卷共12小題，共110分。
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）是虛數單位，則的值的值為__________.
（10）設，使不等式成立的的取值范圍為__________.
（11）曲線在點處的切線方程為__________.
（12）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.
（13）設，，，則的最小值為__________.
（14）在四邊形中，， ， ， ，點在線段的延長線上，且，則__________.
三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）（本小題滿分13分）
2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調查專項附加扣除的享受情況.
（Ⅰ）應從老、中、青員工中分別抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中""表示享受，"×"表示不享受.現從這6人中隨機抽取2人接受采訪.
員工
項目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 繼續教育 × × ○ × ○ ○ 大病醫療 × × × ○ × × 住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 贍養老人 ○ ○ × × × ○ （i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
（ii）設為事件"抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同"，求事件發生的概率.
（16）（本小題滿分13分）
在中，內角所對的邊分別為.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
（17）（本小題滿分13分）
如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
（18）（本小題滿分13分）
設是等差數列，是等比數列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足求.
（19）（本小題滿分14分）
設橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.
（20）（本小題滿分14分
設函數，其中.
（Ⅰ）若，討論的單調性；
（Ⅱ）若，
（i）證明恰有兩個零點
（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.
絕密★啟用前
2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數 學（文史類）參考解答
一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分
（1）D （2）C （3）B （4）B
（5）A （6）D （7）C （8）D
二.填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分30分
（9） （10） （11）
（12） （13） （14）
三.解答題
（15）本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，滿分13分.
解：（1）由已知，老、中、青員工人數之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為
，共15種.
（ii）由表格知，符合題意的所有可能結果為
，共11種.
所以，事件發生的概率
（16）本小題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力.滿分13分.
（1）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得
.
（Ⅱ）解：由（1）可得
，從而，，故.
（17）本小題主要考查直線與平面平行直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識.考查空間想象能力和推理論證能力滿分13分.
（Ⅰ）證明：連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）證明：取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，交平面，故.又已知，，所以平面.
（Ⅲ）解：連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，
因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，
在中，.
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
（18）本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及其前項和公式等基礎知識，考查數列求和的基本方法和運算求解能力.滿分13分.
（Ⅰ）解：設等差數列的公差為，等比數列的公比為依題意，得，解得，故，.
所以，的通項公式為，的通項公式 為.
（Ⅱ）解：
. ①
， ②
②-①得，.
所以，
.
（19）本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、圓等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力，以及用方程思想、數形結合思想解決問題的能力，滿分14分.
（Ⅰ）解：設橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得.
所以，橢圓的離心率為.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， ，故橢圓方程為.由題意，，則直線的方程為.點P的坐標滿足，消去并化簡，得到，解得，，代入到的方程，解得，.因為點在軸上方，所以.由圓心在直線上，可設.因為，且由（Ⅰ）知，故，解得.因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，可得.
所以，橢圓的方程為.
（20）本小題主要考查導數的運算、不等式證明、運用導數研究函數的性質等基礎知識和方法，考查函數思想、化歸與轉化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
（Ⅰ）解：由已知，的定義域為，且
因此當時， ，從而，所以在內單調遞增.
（Ⅱ）證明：（i）由（Ⅰ）知.令，由，
可知在內單調遞減，又，且
.
故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則.當時，，所以在內單調遞增；當時，，所以在內單調遞減，因此是的唯一極值點.
令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時， ，所以.從而
，
又因為，所以在內有唯零點.又在內有唯一零點1，從而，）在內恰有兩個零點.
（ii）由題意，即，從而，即.因為當時， ，又，故，兩邊取對數，得，于是
，
整理得.
